호의 길이 공식 | 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등

이번 글에서는 호의 길이 공식 정리 관련 정보에 대해 알아보도록 하겠습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 호의 길이 공식과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 아래 내용을 미리 한 번 꼼꼼하게 살펴 보시길 바랍니다.

Table of Contents

호의 길이 공식: 개념

호의 길이는 원 위의 두 점 사이를 따라 이어지는 곡선의 길이를 의미합니다. 이는 직선이 아닌 곡선이므로 일반적인 길이 측정 방식과는 다르며 원의 반지름과 중심각을 기준으로 계산합니다. 원을 구성하는 기본 요소로는 중심, 반지름(radius), 지름(diameter), 원주(circumference), 그리고 중심각(central angle)이 있습니다. 호의 길이는 이 중 반지름과 중심각을 기반으로 정의되며 전체 원주에서 중심각이 차지하는 비율에 따라 계산됩니다. 전체 원의 둘레는 다음과 같은 공식으로 구합니다.

$C = 2\pi r$

여기서 $r$ 은 반지름을 의미합니다. 중심각을 $\theta$ (단위: 라디안)이라 할 때, 호의 길이 $s$ 는 다음과 같이 계산됩니다.

$s = r\theta$

이 공식은 중심각이 라디안일 때만 바로 사용할 수 있으며, 중심각이 도(degree) 단위일 경우에는 라디안으로 변환한 후 사용해야 합니다. 중심각이 $\theta^\circ$ 일 때 라디안으로의 변환은 다음과 같습니다.

$\theta = \frac{\pi}{180} \cdot \theta^\circ$

따라서 도 단위의 중심각을 이용해 호의 길이를 구할 때는 다음과 같은 변형 공식을 사용할 수 있습니다.

$s = r \cdot \frac{\pi}{180} \cdot \theta^\circ$

이와 같은 방식으로 호의 길이를 계산하면 원의 일부 곡선 구간의 정확한 길이를 구할 수 있습니다.

호의 길이 공식: 유도 과정

호의 길이 공식을 이해하기 위해서는 원의 전체 둘레와 중심각의 비례 관계를 기반으로 생각합니다. 먼저 원의 전체 둘레는 다음과 같은 공식으로 나타냅니다.

$C = 2\pi r$

여기서 $r$ 은 반지름이고, $\pi$ 는 원주율입니다. 이 식은 중심각이 $360^\circ$ 또는 $2\pi$ 라디안일 때의 전체 호의 길이, 즉 원의 둘레를 의미합니다. 호의 길이는 원의 일부분에 해당하므로 전체 둘레 중 중심각이 차지하는 비율만큼을 곱하여 구할 수 있습니다. 중심각이 $\theta$ 라디안일 때 전체 원의 몇 분의 몇에 해당하는지를 반영하면 다음과 같이 유도할 수 있습니다.

$s = \frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r$

식을 정리하면, $2\pi$ 는 서로 약분되어 다음과 같이 간단한 형태가 됩니다.

$s = r\theta$

이것이 바로 호의 길이의 기본 공식입니다. 중심각이 라디안일 때 적용됩니다. 반면, 중심각이 도(degree) 단위로 주어진 경우에는 라디안으로 변환한 후 같은 방식으로 접근합니다. $\theta^\circ$ 가 주어졌다면 다음과 같이 변환합니다.

$\theta = \frac{\pi}{180} \cdot \theta^\circ$

이를 호의 길이 공식에 대입하면 다음과 같습니다.

$s = r \cdot \frac{\pi}{180} \cdot \theta^\circ$

이 과정을 통해 우리는 중심각의 단위에 따라 두 가지 형태의 호의 길이 공식을 얻게 됩니다. 핵심은 중심각과 원 전체 둘레의 비례 관계를 이해하고 활용하는 데 있습니다.

호의 길이 공식: 부채꼴, 원주각

호의 길이 공식은 단순히 원의 일부 곡선을 재는 데 그치지 않고 다양한 도형 문제에서도 중요한 역할을 합니다. 특히 부채꼴과 원주각이 포함된 문제에서 자주 활용됩니다. 부채꼴은 중심에서 두 개의 반지름이 나와 원의 일부 호를 포함하는 도형으로, 중심각을 기준으로 잘린 원의 일부분이라 볼 수 있습니다. 부채꼴의 테두리는 두 개의 반지름과 하나의 호로 이루어져 있어 호의 길이를 구하는 것이 부채꼴의 둘레나 넓이를 구하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 부채꼴의 넓이는 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다.

$A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ (단, $\theta$ 는 라디안 단위)

이때도 중심각이 도 단위로 주어졌다면 라디안으로 변환하여 사용해야 합니다. 이 넓이 공식 역시 호의 길이 공식 $s = r\theta$ 의 원리를 바탕으로 유도됩니다. 즉, 중심각에 비례하는 면적과 길이의 개념이 함께 적용되는 구조입니다. 또한 호의 길이는 원주각 정리에 따른 여러 기하 문제에서도 자주 등장합니다. 예를 들어 원 위에 점을 잡고 원의 일부만 포함한 도형에서 특정 길이나 각도를 구할 때 호의 길이를 계산하여 전체 도형의 성질을 파악할 수 있습니다. 특히 삼각형과 원이 결합된 복합 도형에서 호의 길이를 알아야 전체 둘레나 경로의 길이를 구할 수 있으므로 실전 문제 풀이에서도 매우 유용하게 사용됩니다.

호의 길이 공식: 예시 문제

[예제 1]

반지름의 길이가 $10\ \mathrm{cm}$ 인 원에서 중심각이 $72^\circ$ 인 부채꼴의 호의 길이를 구하시오.
(단, $\pi = 3.14$ 로 계산하시오.)

[풀이]

중심각이 도 단위로 주어졌으므로, 라디안으로 변환합니다.
$\theta = \frac{\pi}{180} \cdot 72 = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$
호의 길이 공식에 대입합니다.
$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi$
수치로 계산합니다.
$4\pi = 4 \cdot 3.14 = 12.56$

[정답] $12.56\ \mathrm{cm}$

[예제 2]

중심각이 $\frac{\pi}{3}$ 라디안이고 호의 길이가 $8\ \mathrm{cm}$ 인 부채꼴이 있다. 이 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.

[풀이]

호의 길이 공식 $s = r\theta$ 에 수치를 대입합니다.
$8 = r \cdot \frac{\pi}{3}$
양변에 $\frac{3}{\pi}$ 를 곱하여 $r$ 을 구합니다.
$r = \frac{8 \cdot 3}{\pi} = \frac{24}{\pi}$
수치로 계산합니다.
$\frac{24}{\pi} = \frac{24}{3.14} \approx 7.64$

[정답] $\approx 7.64\ \mathrm{cm}$

[예제 3]

원의 중심각이 $90^\circ$ 이고 반지름이 $6\ \mathrm{cm}$ 인 부채꼴의 넓이를 구하시오.

[풀이]

중심각을 라디안으로 변환합니다.
$\theta = \frac{\pi}{180} \cdot 90 = \frac{\pi}{2}$
부채꼴의 넓이 공식에 대입합니다.
$A = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{36}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 18 \cdot \frac{\pi}{2} = 9\pi$
수치로 계산합니다.
$9\pi = 9 \cdot 3.14 = 28.26$

[정답] $28.26\ \mathrm{cm}^2$

호의 길이 공식: 시험 준비

호의 길이 문제는 공식 자체는 단순하지만, 중심각의 단위와 계산 실수로 인해 틀리는 경우가 많습니다. 아래에 자주 나오는 실수 유형과 함께 시험 대비 전략을 정리합니다.

자주 나오는 실수 유형

도 단위를 라디안으로 변환하지 않고 바로 공식에 대입하는 경우
호의 길이 공식 $s = r\theta$ 는 중심각 $\theta$ 가 반드시 라디안 단위여야 합니다. 도 단위 그대로 대입하면 전혀 다른 값이 나오므로 반드시
$\theta = \frac{\pi}{180} \cdot \theta^\circ$
공식을 활용해 라디안으로 변환한 뒤 사용해야 합니다.
공식 선택을 잘못하는 경우
문제에서 중심각이 도 단위인지, 라디안 단위인지 파악하지 않고 무조건 $s = r\theta$ 를 적용하는 경우가 있습니다. 문제에서 단위를 반드시 확인해야 합니다.
$\pi$를 남겨야 할지 계산해야 할지 헷갈리는 경우
정답이 $\pi$를 포함한 식인지, 아니면 값까지 계산해야 하는지 문제에서 요구하는 형태를 정확히 파악해야 합니다. 수치 계산을 요구할 경우 $\pi \approx 3.14$ 를 사용합니다.
부채꼴 넓이와 호의 길이 공식을 혼동하는 경우
- 호의 길이: $s = r\theta$
- 부채꼴 넓이: $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$
  각각의 공식을 외울 때 기호 구조(거듭제곱, 1/2 유무 등)를 비교하며 외우면 혼동을 줄일 수 있습니다.

시험 대비 전략

공식 정리노트 만들기: 중심각의 단위별 공식( $r\theta$ vs. $r \cdot \frac{\pi}{180} \cdot \theta^\circ$ )을 비교 정리합니다.
단위 체크 습관화: 문제를 풀기 전 중심각의 단위를 먼저 확인하고, 반드시 라디안 변환 과정을 거칩니다.
계산 연습 병행: $\pi$ 계산이 필요한 문제를 반복적으로 풀어 속도와 정확도를 높입니다.
예상문제 및 오답 노트 활용: 실전 문제 유형을 분석하여 실수했던 유형을 따로 정리하고 반복 학습합니다.