약수의 개수 구하는 법 | 원리, 계산 공식, 예시 문제, 시험 준비 등

이번 글에서는 약수의 개수 구하는 법 정리 관련 정보에 대해 알아보도록 하겠습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 약수의 개수 구하는 법과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 아래 내용을 미리 한 번 꼼꼼하게 살펴 보시길 바랍니다.

Table of Contents

약수의 개수 구하는 법: 기본 개념

약수는 어떤 수를 나누었을 때 나머지가 0이 되도록 만드는 수를 의미합니다.
모든 자연수는 적어도 두 개의 약수를 가집니다: 1과 자기 자신입니다.
약수는 정수의 곱으로도 해석할 수 있어 수학적으로 매우 중요합니다.
약수 개념은 배수, 소수, 최대공약수 등 다양한 수학 개념과 연결됩니다.
기본 개념을 이해하면 소인수분해와 공식 활용이 쉬워집니다.

약수란 어떤 자연수 $n$ 에 대해, $n$ 을 나누어떨어지게 만드는 자연수 $d$ 를 말합니다. 즉, $d$ 가 $n$ 의 약수라면 $n \div d$ 는 나누어떨어지며 나머지가 0이 됩니다. 수식으로 표현하면 $d \mid n$ 이라고 쓰며 이는 “ $d$ divides $n$ “이라는 뜻입니다. 예를 들어 $12$ 의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ 로 총 6개입니다.

약수의 개념은 단순하지만 이를 통해 다양한 수학적 원리를 파악할 수 있습니다. 예를 들어 모든 자연수는 적어도 두 개의 약수를 가지며, 소수는 약수가 오직 $1$ 과 자기 자신뿐인 수입니다. 반대로 합성수는 이 외에 다른 약수도 가진 수입니다. 이러한 구분은 수의 구조를 이해하고 문제 해결력을 높이는 데 필수적입니다.

또한 약수는 최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM) 그리고 소인수분해와도 깊게 연결되어 있습니다. 약수의 성질을 정확히 이해하면 복잡한 계산이나 시험 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다. 따라서 수학의 기초로서 약수 개념을 탄탄히 다지는 것이 중요합니다.

약수의 개수 구하는 법: 공식 & 원리

약수의 개수는 단순히 셀 수 있지만, 큰 수일수록 공식이 유용합니다.
소인수분해를 통해 약수 개수를 빠르게 계산할 수 있습니다.
약수 개수는 지수에 1을 더한 값을 곱하는 공식으로 구합니다.
이 원리는 곱의 분배 법칙과 조합의 개념에서 비롯됩니다.
계산 공식은 시험에서 빠르고 정확한 풀이를 돕습니다.

자연수의 약수 개수를 구할 때는 단순히 나눠보는 방법 외에도 소인수분해를 이용한 공식이 매우 유용합니다. 어떤 수 $n$ 을 소인수분해하여 $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ 의 꼴로 나타낼 수 있다고 할 때, 약수의 개수는 $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1)$ 로 계산됩니다. 이 공식은 각 소인수의 지수를 기준으로 가능한 조합을 곱하여 총 경우의 수를 구하는 원리입니다.

예를 들어 $72$ 는 $2^3 \cdot 3^2$ 로 소인수분해할 수 있습니다. 이때 약수의 개수는 $(3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12$ 개가 됩니다. 실제로 $72$ 의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$ 로 12개가 맞습니다. 이처럼 소인수의 지수에 1을 더한 값들을 곱하는 방식은 실용적이며 실수도 줄일 수 있는 방법입니다.

이 공식의 원리는 선택과 조합에서 비롯됩니다. 각 소인수는 $0$ 부터 $a_i$ 까지의 지수를 가질 수 있으므로, 가능한 지수 조합의 수는 각 지수에 1을 더한 값들의 곱이 됩니다. 이를 통해 약수의 개수를 빠르고 정확하게 계산할 수 있으며, 특히 큰 수나 시험에서 시간 단축에 매우 유리합니다.

약수의 개수 구하는 법: 계산 방법

소인수분해는 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 방법입니다.
약수 개수 공식은 소인수분해를 기반으로 작동합니다.
올바른 소인수분해는 정확한 약수 계산의 출발점입니다.
지수 표현을 통해 조합 가능한 약수의 수를 셉니다.
반복 훈련을 통해 복잡한 수의 약수도 쉽게 구할 수 있습니다.

소인수분해는 자연수를 더 이상 나눌 수 없는 소수들의 곱으로 나타내는 과정입니다. 예를 들어 $180$ 을 소인수분해하면 $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ 이 됩니다. 이처럼 수를 소인수의 곱으로 정리하면 각 소수의 지수 정보를 통해 약수의 개수를 체계적으로 구할 수 있습니다. 이는 계산의 효율성과 정확성을 동시에 높여주는 핵심 방법입니다.

소인수분해가 완료되면, 앞서 배운 공식 $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1)$ 을 적용해 약수의 개수를 구할 수 있습니다. 위의 $180$ 예시에서는 $(2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ 개의 약수가 존재합니다. 이 과정은 단순 반복이 아닌 지수 조합의 수학적 원리에 따라 가능한 약수 조합을 모두 계산하는 방식입니다.

소인수분해는 초등 수준부터 고등 수학까지 다양한 영역에서 활용됩니다. 특히 약수, 배수, 최대공약수, 최소공배수 문제의 기본 단계로 작용하며 시험에서도 자주 출제됩니다. 따라서 수를 소인수로 분해하는 연습을 충분히 해두면 이후의 약수 개수 계산은 물론 여러 문제 해결에도 큰 도움이 됩니다.

약수의 개수 구하는 법: 예제

약수의 개수를 구하는 문제는 시험에서 기본 개념을 묻는 동시에 계산 정확도를 평가합니다. 가장 기본적인 유형은 자연수 하나를 주고 그 수의 약수 개수를 구하게 하는 문제입니다. 하지만 약수 중 짝수의 개수, 약수의 합 혹은 특정 조건을 만족하는 약수 개수를 묻는 응용 문제도 자주 출제됩니다. 따라서 다양한 유형을 경험해보는 것이 중요합니다.

📘 예제 1. (객관식)

다음 중 $120$ 의 약수의 개수를 올바르게 구한 것은?
(단, $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ 임을 이용하시오.)

A. 10개
B. 12개
C. 14개
D. 16개

[정답] D
[해설] $120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ 이므로, 약수의 개수는
$(3+1)(1+1)(1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ 개입니다.

📘 예제 2. (서술형)

자연수 $N$ 이 $2^4 \cdot 3^2$ 의 형태일 때, $N$ 의 약수 중 짝수의 개수는 몇 개인지 구하시오.

[풀이]
전체 약수 개수는 $(4+1)(2+1) = 5 \cdot 3 = 15$ 개입니다.
이 중 홀수 약수는 $2$ 의 지수가 $0$ 인 경우뿐이므로, $3^0, 3^1, 3^2$ 즉, $3$ 개입니다.
따라서 짝수 약수의 개수는 $15 - 3 = 12$ 개입니다.

이처럼 시험에서는 단순 약수 개수만이 아니라 조건을 추가한 응용 문제도 자주 나옵니다. 유형별로 충분히 연습해두면 실전에 강한 실력을 갖출 수 있습니다.

약수의 개수 구하는 법: 시험 대비

시험에서 약수 개수 문제를 정확히 풀기 위해서는 개념 암기보다도 계산 과정의 정확성과 속도가 중요합니다. 특히 소인수분해를 빠르게 하고, 곧바로 공식에 적용하는 연습이 핵심입니다. 암산에 의존하기보다는 중간 계산을 짧게라도 메모하면서 실수를 줄이는 것이 좋습니다. 실전에서는 초반 실수 하나가 문제 전체를 틀리는 결과로 이어질 수 있기 때문입니다. 또한 문제를 푸는 순서를 체계화해두는 것이 전략입니다.

① 먼저 수를 소인수분해합니다.
② 각 지수에 1을 더한 값을 곱합니다.
③ 문제에 조건(짝수, 홀수, 특정 배수 등)이 있는 경우 해당 조건에 맞는 지수 범위만 따로 계산합니다.

이와 같은 순서를 몸에 익히면 문제 유형이 달라져도 당황하지 않고 접근할 수 있습니다. 마지막으로 다양한 기출문제와 변형문제에 반복적으로 노출되는 것이 좋습니다. 같은 공식을 써도 문제 유형에 따라 사고 방식이 달라지므로 수십 개의 문제를 풀어보는 것이 실전 감각을 높여줍니다. 시간이 부족한 시험에서는 단순히 답을 구하는 것보다, 답을 빠르게 검산하고 실수를 줄이는 전략이 점수 차이를 만듭니다. 꾸준한 연습과 오답 분석을 통해 약수 문제는 반드시 점수를 확보할 수 있는 영역으로 만들어야 합니다.

더 알고 있으면 좋은 것들

아래 글에서는 국내 대학 순위, 전국 대학교 순위 100위까지 살펴보도록 하겠습니다. 진학 준비를 앞두고 전국 대학 순위, 국내 대학교 순위가 궁금하신 분들은 아래 내용 잘 참고하시길 바랍니다.

[대학 순위 TOP 100]

아래에는 2020년부터 최근까지의 월별 모의고사, 수능 기출문제 관련 정보에 대해 정리해두었습니다. 고3, 고2, 고1 등 모의고사 기출문제와 더불어 답안, 해설, 등급컷, 듣기 파일 등이 필요하신 분들은 참고해 보시길 바랍니다.

[수능·모의고사 기출]

아래 글에는 주요 대학별 입시 정보를 모두 모아두었습니다. 대학별 수시등급, 정시등급, 논술, 입결, 등록금, 장학금 등 대학 진학과 관련된 내용이 필요하신 분들은 아래 내용도 꼭 함께 살펴보시길 바랍니다.

[대학별 입시 정보]

맺음말

이번 글에서는 약수의 개수 구하는 법 정리 관련 정보에 대해 함께 살펴보았습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 약수의 개수 구하는 법과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 말씀드린 내용들 참고되셨길 바랍니다.