점과 직선 사이의 거리 공식 | 도형 특징, 유도, 예제, 시험 준비 등

이번 글에서는 점과 직선 사이의 거리 공식 정리 관련 정보에 대해 알아보도록 하겠습니다. 도형 특징, 유도, 예제, 시험 준비 등 점과 직선 사이의 거리 공식과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 아래 내용을 미리 한 번 꼼꼼하게 살펴 보시길 바랍니다.

Table of Contents

점과 직선 사이의 거리 공식: 정의

점과 직선 사이의 거리는 평면 위의 한 점에서 직선까지의 수직 거리, 즉 해당 점에서 직선 위로 내린 수선의 길이를 의미합니다. 이 거리는 좌표기하에서 점과 선분, 도형 간의 상대적 위치를 분석할 때 자주 사용되며 도형의 높이나 간격을 계산할 때 필수적으로 활용됩니다. 특히 직선이 일반형 $Ax + By + C = 0$ 으로 주어졌을 때, 점 $(x_1, y_1)$ 과 직선 사이의 거리는 고정된 공식으로 바로 계산할 수 있습니다. 공식은 다음과 같습니다.

$\text{Distance} = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

이 식은 점의 좌표를 직선의 식에 대입하여 얻은 값의 절댓값을 분자에 두고, 직선의 기울기 요소에 해당하는 $A^2 + B^2$ 의 제곱근을 분모에 둠으로써 정확한 수직 거리를 구하는 구조로 되어 있습니다. 분자에는 거리의 부호를 없애기 위해 절댓값 기호를 반드시 붙여야 하는데 이는 음수 거리라는 개념이 존재하지 않기 때문입니다.

이 공식은 수학적으로 단순한 구조지만 그럼에도 실제로는 기하학적 해석과 정확한 대입이 요구됩니다. 직선이 기울기-절편형( $y = mx + b$ )으로 주어졌을 경우에는 일반형으로 변환한 후 사용하는 것이 일반적입니다. 다양한 도형 문제나 공간 해석 문제에서도 이 공식은 꼭 필요한 도구로 수학뿐 아니라 물리, 공학 문제에도 자주 등장합니다.

점과 직선 사이의 거리 공식: 유도

점과 직선 사이의 거리 공식은 기하학적인 수선의 길이를 대수적으로 표현한 결과입니다. 점 $P(x_1, y_1)$ 에서 직선 $Ax + By + C = 0$ 에 내린 수선의 발을 $Q$ 라고 할 때 $PQ$ 의 길이를 구하는 것이 이 공식의 목적입니다. 직선의 기울기와 수선의 기울기가 서로 수직이라는 점에 착안하여 수직 조건과 거리 정의를 활용해 유도할 수 있습니다.

직선 $Ax + By + C = 0$ 위의 한 점 $Q(x, y)$ 를 잡고 이 점이 점 $P(x_1, y_1)$ 와 이루는 벡터가 직선의 법선 벡터 $(A, B)$ 와 일직선상에 있다는 점에서 출발합니다. 두 벡터가 평행하다는 조건을 활용하면 두 점 사이의 거리 $PQ$ 는 두 벡터의 투영 길이로 표현할 수 있습니다. 이 과정을 통해 다음과 같은 공식이 도출됩니다.

$\text{Distance} = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

이 공식은 피타고라스 정리나 벡터 내적, 도형의 성질을 종합적으로 활용해 도출된 결과입니다. 공식을 암기하는 것도 중요하지만, 이 유도 과정을 이해하면 문제 유형이 바뀌거나 직선이 다른 형태로 주어졌을 때에도 유연하게 적용할 수 있게 됩니다. 특히 공간감과 수직 조건에 대한 개념을 함께 익히면 다양한 좌표기하 문제에서 강력한 도구가 됩니다.

점과 직선 사이의 거리 공식: 응용

점과 직선 사이의 거리 공식은 도형의 구조적 특징을 분석할 때 매우 유용하게 활용됩니다. 예를 들어 삼각형에서 꼭짓점에서 밑변까지의 높이를 구할 때 해당 꼭짓점을 점으로, 밑변을 직선으로 보고 거리 공식을 적용하면 높이를 쉽게 구할 수 있습니다. 이는 삼각형의 넓이를 구하거나 외심, 내심 등 중심의 위치를 파악하는 데도 활용됩니다.

또한 두 평행한 직선 사이의 거리를 구할 때도 이 공식을 활용할 수 있습니다. 두 직선이 $Ax + By + C_1 = 0$ , $Ax + By + C_2 = 0$ 와 같은 형태로 주어졌다면, 한 직선 위의 임의의 점을 다른 직선에 대입하여 공식에 적용하면 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있습니다. 이때 공식은 다음과 같이 단순화됩니다.

$\text{Distance} = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

뿐만 아니라, 원과 직선이 접하는 조건을 판단할 때도 이 공식이 자주 쓰입니다. 원의 중심에서 직선까지의 거리를 구하고, 그것이 반지름과 같을 때 두 도형은 접한다고 할 수 있습니다. 이처럼 점과 직선 사이의 거리 공식은 삼각형, 원, 사각형 등 다양한 도형 문제 속에서 거리나 위치 관계를 분석하는 데 필수적인 도구입니다.

점과 직선 사이의 거리 공식: 예제

✅ 예제 1. 객관식 문제

문제
점 $P(3, -2)$ 에서 직선 $2x - y - 5 = 0$ 까지의 거리를 구하시오.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\frac{3}{\sqrt{5}}$
$\frac{4}{\sqrt{5}}$
$\frac{5}{\sqrt{5}}$
$\frac{6}{\sqrt{5}}$

풀이
공식: $\text{Distance} = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

직선: $2x - y - 5 = 0$ → $A = 2,\ B = -1,\ C = -5$
점 $(x_1, y_1) = (3, -2)$

$\text{Distance} = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 2 - 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

정답: ② $\frac{3}{\sqrt{5}}$

✅ 예제 2. 서술형 문제

문제
삼각형 ABC에서 $A(1, 2)$ , $B(5, 6)$ , $C(5, 2)$ 일 때, 점 A에서 선분 BC에 내린 높이의 길이를 구하시오.

풀이

점 A에서 직선 BC까지의 거리를 구해야 하므로, 먼저 점 B와 C를 이용해 직선 BC의 방정식을 구합니다.
B(5, 6), C(5, 2) → x좌표가 같으므로 수직선: $x = 5$
수직선 $x = 5$ 는 일반형으로는 $x - 5 = 0$ 이므로, $A = 1,\ B = 0,\ C = -5$
거리 공식에 대입:
$\text{Distance} = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 - 5|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-4|}{1} = 4$

정답: 높이의 길이는 $4$

점과 직선 사이의 거리 공식: 시험 준비

점과 직선 사이의 거리 문제를 풀 때 가장 흔한 실수는 공식 대입 과정에서의 부호 오류입니다. 특히 직선이 일반형 $Ax + By + C = 0$ 형태로 주어질 때 $C$ 항까지 정확히 반영하지 않거나, 부호를 실수로 바꾸는 경우가 많습니다. 예를 들어 직선이 $2x - y - 5 = 0$ 일 때, $C = -5$ 임을 놓치고 $+5$로 계산하면 오답으로 이어집니다. 따라서 항상 계수와 부호를 차분히 확인하는 습관이 필요합니다.

또한 절댓값 기호와 분모 계산에서 실수가 자주 발생합니다. 분자에서 $|Ax_1 + By_1 + C|$ 계산 후 절댓값을 생략하거나, 분모 $\sqrt{A^2 + B^2}$ 를 계산할 때 제곱을 누락하거나 실수하는 경우가 있습니다. 계산 결과가 제곱근 형태로 남는 경우, 보기와 형태가 다를 수 있으니 $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ 와 같은 근호의 간단화 연습도 함께 해두는 것이 좋습니다.

마지막으로 시험에서는 직선의 형태 변환이 필요한 경우가 많습니다. $y = mx + b$ 같은 기울기-절편형이 주어졌다면, 일반형으로 변환해서 $Ax + By + C = 0$ 꼴로 바꾼 후 공식을 적용해야 합니다. 이 과정에서 이항, 정리 실수를 줄이기 위해 반드시 계산 과정을 한 줄씩 적어두고 확인하는 것이 좋습니다. 실수 없이 푸는 능력은 연습량에서 비롯되므로 다양한 유형의 문제를 반복적으로 풀어보는 것이 가장 효과적인 대비 방법입니다.

더 알고 있으면 좋은 것들

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[대학 순위 TOP 100]

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[수능·모의고사 기출]

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[대학별 입시 정보]

맺음말

이번 글에서는 점과 직선 사이의 거리 공식 정리 관련 정보에 대해 함께 살펴보았습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 점과 직선 사이의 거리 공식과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 말씀드린 내용들 참고되셨길 바랍니다.