이번 글에서는 최대공약수 구하는 법 정리 관련 정보에 대해 알아보도록 하겠습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 최대공약수 구하는 법과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 아래 내용을 미리 한 번 꼼꼼하게 살펴 보시길 바랍니다.
최대공약수 구하는 법: 뜻 & 개념
- ‘공약수’는 두 수 이상의 공통된 약수를 말합니다.
- ‘최대공약수’는 공약수 중에서 가장 큰 수입니다.
- 최대공약수는 약분, 나눗셈, 배분 등에 자주 쓰입니다.
- 영어로는 GCD(Greatest Common Divisor)라고 합니다.
- 두 수 또는 여러 수가 있을 때, 최대공약수는 반드시 하나로 정해집니다.
최대공약수란, 두 수 이상의 공약수 중 가장 큰 수를 의미합니다. 예를 들어 12와 18의 약수를 각각 나열하면 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18입니다. 이 중 두 수 모두에게 해당하는 공약수는 1, 2, 3, 6이고 그중에서 가장 큰 수는 6이므로 12와 18의 최대공약수는 6입니다.
공약수는 어떤 수를 나누어떨어지게 만드는 수라고 이해할 수 있으며, 최대공약수는 그중 가장 큰 수이기 때문에 여러 수를 공평하게 나누거나 묶을 때 가장 큰 단위로 사용할 수 있습니다. 예를 들어 사탕 24개와 초콜릿 36개를 각각 똑같이 나누되 남기지 않으려면, 최대공약수인 12로 나눠서 12명에게 공평하게 나눌 수 있습니다.
최대공약수는 수학에서 매우 기초적이지만 분수의 약분, 문제 단순화, 규칙 찾기, 최소공배수 구하기와 연결 등 여러 개념의 출발점이 됩니다. 따라서 단순히 값을 구하는 데 그치지 않고 어떤 상황에서 왜 필요한지, 어떤 방법으로 구할 수 있는지에 대한 이해가 함께 이루어져야 개념을 확실히 잡을 수 있습니다.
최대공약수 구하는 법: 방법
가장 기본적인 방법은 나열법입니다. 예를 들어 12와 18의 약수를 각각 나열하고 공통된 약수를 찾습니다.
- 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 / 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- 공통 약수: 1, 2, 3, 6 → 최대공약수는 6
이 방법은 수가 작을 때 직관적이고 이해하기 쉬우나 수가 클 경우 번거로워질 수 있습니다. 소인수분해법은 두 수를 소인수로 나눈 뒤 공통되는 인수를 찾아 곱합니다.
- 예: 24 = 2³ × 3 / 36 = 2² × 3²
- 공통된 소인수는 2² × 3 = 4 × 3 = 12 → 최대공약수는 12
이 방법은 수가 크거나 여러 수일 때 체계적이고 실수 없이 구할 수 있는 장점이 있습니다. 가장 빠르고 효율적인 방법은 유클리드 호제법입니다. 두 수 A, B (A > B)에 대해 A ÷ B의 나머지를 R이라 하면, A와 B의 최대공약수는 B와 R의 최대공약수와 같습니다. 이를 나머지가 0이 될 때까지 반복합니다.
- 예: 48 ÷ 18 → 나머지 12 → 18 ÷ 12 → 나머지 6 → 12 ÷ 6 → 나머지 0 → 최대공약수는 6
이 방법은 특히 큰 수에서도 계산 횟수를 적게 가져갈 수 있다는 장점이 있어 컴퓨터 알고리즘에도 자주 사용됩니다.
최대공약수 구하는 법: 예시 문제
예제 1. (나열법)
12와 20의 최대공약수를 구하시오.
풀이: 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 / 20의 약수: 1, 2, 4, 5, 10, 20
공약수: 1, 2, 4 → 최대공약수는 4
정답: 4
예제 2. (소인수분해법)
36과 48의 최대공약수를 구하시오.
풀이: 36 = 
공통된 소인수:
정답: 12
예제 3. (유클리드 호제법)
84와 30의 최대공약수를 구하시오.
풀이: 84 ÷ 30 = 나머지 24 → 30 ÷ 24 = 나머지 6 → 24 ÷ 6 = 나머지 0
최대공약수는 6
정답: 6
이처럼 최대공약수 문제는 수의 크기, 상황, 제한 조건에 따라 적절한 방법을 선택해서 빠르고 정확하게 계산하는 것이 핵심입니다. 나열법은 수가 작을 때, 소인수분해법은 정리된 풀이가 필요할 때, 유클리드 호제법은 수가 크거나 계산이 반복될 때 효과적입니다.
최대공약수 구하는 법: 실제 활용
최대공약수는 수학 개념이지만, 일상생활 속 문제 해결에도 자주 쓰입니다. 예를 들어 24개의 사탕과 36개의 초콜릿을 가장 큰 수의 묶음으로 공평하게 포장하려면, 두 수의 최대공약수인 12로 나눌 수 있습니다. 즉, 12개의 묶음을 만들고 각 묶음에 사탕 2개, 초콜릿 3개를 넣을 수 있죠. 이처럼 최대공약수는 공평한 분배를 위한 기준이 됩니다.
또한 수학에서는 분수의 약분에서 핵심적으로 사용됩니다. 예를 들어 
시간 간격, 일정 반복과 관련된 문제에서도 등장합니다. 예를 들어 두 개의 타이머가 각각 15초, 20초마다 울릴 때 몇 초 간격으로 동시에 울리는가를 구하는 문제에서 최대공약수는 최소공배수와 함께 활용됩니다. 이런 식으로 최대공약수는 단순 계산을 넘어 공통된 구조, 효율적인 배치, 반복 패턴의 핵심 도구로 널리 사용됩니다.
최대공약수 구하는 법: 시험 대비
- 최대공약수의 개념과 정의를 정확히 이해하고 외웁니다.
- 방법별 특징(나열법, 소인수분해, 유클리드 호제법)을 구분해 익힙니다.
- 큰 수일수록 나열법보다는 유클리드 호제법을 활용하는 것이 좋습니다.
- 약수를 빠뜨리거나 소인수를 잘못 쓰는 실수가 자주 발생합니다.
- 문제 요구 사항(약분, 분배, 반복 등)에 따라 적절한 접근법을 선택해야 합니다.
시험에서는 최대공약수 자체보다 상황을 정확히 파악하고 적절한 방법을 적용하는 능력이 중요합니다. 특히 나열법을 사용할 때는 약수를 빠짐없이 쓰는 실수, 소인수분해법에서는 곱셈 오류나 지수 실수가 자주 나타납니다. 유클리드 호제법에서는 나머지 계산을 잘못하거나, 언제 끝내야 할지 헷갈려 하는 경우도 많습니다. 따라서 각 방법의 절차를 정확히 익혀두는 것이 중요합니다.
또한 시험에서는 최대공약수 단독 문제 외에도 최소공배수와 짝지어진 문제, 약분과 분수 계산, 나눗셈·배분형 문제 등 다양한 형태로 출제됩니다. 예를 들어 “최대로 나눌 수 있는 수”라고 묻는 경우가 바로 최대공약수를 의미하는 것이며 “같은 간격으로 배치하기”, “가장 큰 정사각형으로 자르기”와 같은 표현도 최대공약수 활용 문제로 출제됩니다.
시험에서 실수를 줄이려면, 1) 문제 지문을 끝까지 정확히 읽고, 2) 주어진 수의 관계를 먼저 분석한 뒤, 3) 가장 빠르고 정확한 방법을 선택하는 습관이 필요합니다. 또한 문제를 다 풀고 나면 구한 수가 모든 수의 약수인지 다시 확인하는 것도 좋은 검토 방법입니다. 실전에서는 빠르면서도 정확한 판단력이 좋은 점수를 결정짓는 핵심이 됩니다.
더 알고 있으면 좋은 것들
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맺음말
이번 글에서는 최대공약수 구하는 법 정리 관련 정보에 대해 함께 살펴보았습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 최대공약수 구하는 법과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 말씀드린 내용들 참고되셨길 바랍니다.