두 점 사이의 거리 공식 | 도형 특징, 유도 과정, 예제, 시험 준비 등

이번 글에서는 두 점 사이의 거리 공식 정리 관련 정보에 대해 알아보도록 하겠습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 두 점 사이의 거리 공식과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 아래 내용을 미리 한 번 꼼꼼하게 살펴 보시길 바랍니다.

Table of Contents

두 점 사이의 거리 공식: 정의

좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식은 두 점 간의 직선 거리, 즉 유클리드 거리(Euclidean distance)를 계산하는 방법입니다. 두 점 $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ 가 주어졌을 때, 두 점 사이의 거리는 두 점을 연결한 선분의 길이로 정의됩니다. 이 길이는 두 점 사이의 x축 및 y축 거리 차이를 직각삼각형의 두 변으로 보고 피타고라스 정리를 이용해 구할 수 있습니다. 두 점 사이의 거리 공식은 다음과 같습니다.

$\text{Distance} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

이 공식은 두 점 간의 가로 거리 $(x_2 - x_1)$ 와 세로 거리 $(y_2 - y_1)$ 를 각각 제곱한 뒤 더하고, 제곱근을 취하는 방식으로 구성되어 있습니다. 이 구조는 직각삼각형의 빗변을 구하는 것과 동일하며 이는 좌표 기하의 기본적인 계산 원리 중 하나입니다.

이 공식은 단순한 수학적 계산을 넘어 도형의 길이나 중심 간 거리, 반지름 판단, 대칭 확인 등 다양한 상황에 폭넓게 활용됩니다. 특히 직선, 삼각형, 원 등 도형 간의 상대적 위치를 분석하거나 도형의 성질을 정리할 때 자주 사용됩니다. 거리 공식을 정확히 이해하고 활용할 수 있는 능력은 좌표기하 문제 해결의 기본이 됩니다.

두 점 사이의 거리 공식: 유도 과정

두 점 사이의 거리 공식은 피타고라스 정리를 바탕으로 유도됩니다. 좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ 를 생각해 보면, 이 두 점을 각각 수직선으로 연결하여 직각삼각형을 만들 수 있습니다. 이때 두 점을 연결하는 선분은 빗변이 되고, 각 축을 따라 이동한 거리 $|x_2 - x_1|$ , $|y_2 - y_1|$ 는 각각 밑변과 높이가 됩니다.

직각삼각형의 빗변 길이를 구하는 피타고라스 정리에 따르면 빗변의 제곱은 두 직각변의 제곱의 합과 같습니다. 즉, 두 점 사이 거리 $d$ 는 다음과 같이 표현됩니다.

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

이 식은 두 좌표 사이의 수평 거리와 수직 거리의 제곱합의 제곱근으로 해석되며, 좌표평면에서 점과 점 사이의 정확한 직선 거리를 나타냅니다.

이와 같은 유도 과정을 이해하는 것은 단순히 공식을 외우는 것보다 훨씬 더 의미가 있습니다. 문제 상황에 따라 좌표가 변형되거나 삼차원 공간으로 확장되더라도, 피타고라스 정리를 기반으로 거리를 계산할 수 있기 때문입니다. 따라서 거리 공식을 유도하는 원리를 익히는 것은 수학적 사고력과 공간 감각을 함께 기를 수 있는 중요한 과정입니다.

두 점 사이의 거리 공식: 응용 방법

두 점 사이의 거리 공식은 다양한 도형 문제에서 매우 유용하게 활용됩니다. 가장 기본적으로는 선분의 길이를 계산할 때 사용되며, 이 길이를 바탕으로 도형의 둘레나 넓이를 구할 수 있습니다. 예를 들어 좌표평면 위에 주어진 세 점을 이용해 삼각형을 만들고, 각 변의 길이를 거리 공식으로 구하면 삼각형의 종류를 판별하거나 헤론의 공식을 이용해 넓이를 계산할 수 있습니다.

사각형의 경우에도 마찬가지로 네 꼭짓점 사이의 거리와 대각선의 길이를 계산하면, 평행사변형, 직사각형, 정사각형인지 여부를 판별할 수 있습니다. 예를 들어 어떤 사각형의 네 변의 길이가 모두 같고, 두 대각선의 길이도 같다면 그 도형은 정사각형입니다. 이때 각 거리 계산에 $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 공식을 적용하여 도형의 성질을 판단합니다.

또한 원과 직선, 점 사이의 관계에서도 거리 공식은 중요한 역할을 합니다. 예를 들어 원의 중심과 어떤 점 사이의 거리를 계산해 반지름과 비교하면 그 점이 원 안에 있는지, 위에 있는지, 바깥에 있는지를 판단할 수 있습니다. 이처럼 거리 공식은 좌표기하에서 도형의 위치관계와 성질을 분석하는 데 핵심 도구로 활용됩니다.

두 점 사이의 거리 공식: 예제

✅ 예제 1. 객관식 문제

문제
두 점 $A(2, -1)$ , $B(6, 3)$ 사이의 거리를 구하시오.

$4$
$\sqrt{16}$
$\sqrt{20}$
$\sqrt{32}$
$\sqrt{40}$

풀이
$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$

정답: ④ $\sqrt{32}$

✅ 예제 2. 서술형 문제

문제
점 $A(1, 2)$ 와 점 $B(7, -4)$ 를 연결한 선분의 길이를 구하고, 이 선분의 중점을 구하시오.

풀이
① 거리
$d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}$

② 중점
$M = \left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{2 + (-4)}{2} \right) = (4, -1)$

정답

거리: $\sqrt{72}$
중점: $(4, -1)$

두 점 사이의 거리 공식: 시험 준비

두 점 사이의 거리 문제를 풀 때 가장 중요한 것은 계산 실수 없이 공식을 정확히 적용하는 것입니다. 특히 $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 공식에서 괄호 안의 부호 처리를 잘못하면 오답이 나올 수 있습니다. $x_2 - x_1$ 이나 $y_2 - y_1$ 을 계산할 때 음수를 제대로 다루지 않거나, 제곱하는 과정에서 착오가 생기는 경우가 많습니다.

또한 x좌표와 y좌표를 혼동하거나, 순서를 반대로 대입해서 실수하는 경우도 자주 발생합니다. 거리 공식은 대입 순서에 관계없이 결과는 같지만, 중점 공식이나 벡터 연산과 혼용할 때는 방향성과 부호에 따라 영향을 줄 수 있기 때문에 좌표의 위치를 정확히 파악하는 것이 필요합니다. 시험에서는 좌표를 그림으로 그려보거나 대략적인 거리 감각을 확인해보는 것도 좋은 전략입니다.

마지막으로 제곱근을 간단히 하지 않거나, 근호 안의 수를 약분하지 않아 보기와 정답이 맞지 않는 경우도 많습니다. 예를 들어 $\sqrt{72}$ 는 $\sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ 로 간단히 표현할 수 있어야 합니다. 따라서 평소에 제곱근 계산, 소인수분해, 수의 분해 능력을 함께 연습해두면 실전에서 시간도 줄이고 정확도도 높일 수 있습니다.

더 알고 있으면 좋은 것들

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[수능·모의고사 기출]

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[대학별 입시 정보]

맺음말

이번 글에서는 두 점 사이의 거리 공식 정리 관련 정보에 대해 함께 살펴보았습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 두 점 사이의 거리 공식과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 말씀드린 내용들 참고되셨길 바랍니다.