최소공배수 구하는 법 | 뜻, 구하기, 예시 문제, 시험 준비 등

이번 글에서는 최소공배수 구하는 법 정리 관련 정보에 대해 알아보도록 하겠습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 최소공배수 구하는 법과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 아래 내용을 미리 한 번 꼼꼼하게 살펴 보시길 바랍니다.

Table of Contents

최소공배수 구하는 법: 뜻

최소공배수는 두 수 이상의 공통된 배수 중 가장 작은 수를 의미합니다.
영어로는 Least Common Multiple, 줄여서 LCM이라고 합니다.
두 수의 곱과 최대공약수를 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.
최소공배수는 주기적인 일정을 계산할 때도 많이 사용됩니다.
수학뿐 아니라 실생활 문제 해결에서도 유용하게 쓰입니다.

두 수 또는 그 이상의 자연수에 대해 최소공배수(Lowest Common Multiple, LCM)란 공통된 배수 중에서 가장 작은 자연수를 말합니다. 예를 들어 $4$ 와 $6$ 의 공배수는 $12, 24, 36, \ldots$ 이지만 이 중에서 가장 작은 수인 $12$ 가 바로 최소공배수입니다. 공배수는 무한히 많지만 최소공배수는 유일하게 하나만 존재합니다.

최소공배수는 배수의 개념에 기반합니다. 한 수가 다른 수로 나누어떨어질 때, 그 수를 배수라고 하고 두 수의 배수를 모두 나열해보면 공통된 수들이 나옵니다. 그러나 숫자가 커질수록 나열만으로는 찾기 어렵기 때문에 소인수분해나 최대공약수(GCD)를 활용한 공식을 사용합니다. 예를 들어 두 수 $a$ 와 $b$ 의 최소공배수는 $\frac{a \cdot b}{\gcd(a, b)}$ 로 계산할 수 있습니다.

최소공배수는 단순한 수학 개념을 넘어서, 일정 맞추기, 주기 계산, 기계 부품의 반복 시점, 문제해결 알고리즘 등 다양한 분야에서 쓰입니다. 예를 들어 두 기차가 각각 $12$ 분, $18$ 분 간격으로 도착한다면 동시에 도착하는 시점을 알고 싶을 때 최소공배수를 계산하게 됩니다. 따라서 최소공배수는 수학적 이해뿐만 아니라 실생활에 적용하는 능력까지 키워줍니다.

최소공배수 구하는 법: 3가지 유형

최소공배수는 대표적으로 세 가지 방법으로 구할 수 있습니다.
각각 나열법, 소인수분해법, 최대공약수 활용법입니다.
상황에 따라 가장 효율적인 방법을 선택하는 것이 좋습니다.
초등 수준에서는 나열법이 많이 사용됩니다.
시험 대비나 복잡한 수에서는 소인수분해와 공식 활용이 효과적입니다.

최소공배수를 구하는 가장 직관적인 방법은 나열법입니다. 예를 들어 $3$ 과 $5$ 의 배수를 각각 나열하면 $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ 와 $5, 10, 15, 20, \ldots$ 이 됩니다. 이때 공통된 배수 중 가장 작은 $15$ 가 바로 최소공배수입니다. 나열법은 이해하기 쉬우나 수가 커지면 비효율적이라는 단점이 있습니다.

두 번째 방법은 소인수분해법입니다. 각 수를 소인수로 분해한 뒤 겹치는 소수는 큰 지수로, 다른 소수는 모두 포함하여 곱하면 최소공배수가 됩니다. 예를 들어 $12 = 2^2 \cdot 3$ 이고 $18 = 2 \cdot 3^2$ 이므로, 최소공배수는 $2^2 \cdot 3^2 = 36$ 입니다. 이 방법은 수가 클 때도 체계적으로 계산할 수 있어 중고등 수학에서 많이 사용됩니다.

마지막으로 최대공약수(GCD)를 활용한 공식도 있습니다. 두 자연수 $a$ 와 $b$ 의 최소공배수는 공식 $\frac{a \cdot b}{\gcd(a, b)}$ 를 사용하여 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어 $a = 8$ , $b = 12$ 일 때, $\gcd(8, 12) = 4$ 이므로 최소공배수는 $\frac{8 \cdot 12}{4} = 24$ 입니다. 이 방법은 특히 프로그래밍이나 알고리즘 문제에서 유용하게 쓰입니다.

최소공배수 구하는 법: 예시 문제

최소공배수 문제는 초등학교 고학년부터 중학교 초반까지 꾸준히 출제되는 기본 유형입니다. 대표적으로는 두 수 또는 세 수의 최소공배수를 직접 구하거나, 일상생활 상황과 연결하여 구하는 문제가 많습니다. 아래 예제처럼 수학적 사고와 실제 적용 능력을 함께 묻는 방식으로 출제됩니다.

[예제 1]

다음 두 수의 최소공배수를 구하시오.
$8$ 과 $12$

해설:
$8 = 2^3$ , $12 = 2^2 \cdot 3$
공통된 소수는 $2$ , 지수는 큰 쪽인 $2^3$ 선택
나머지 소수인 $3$ 도 포함
$\Rightarrow$ 최소공배수 $= 2^3 \cdot 3 = 24$

[예제 2]

기차 A는 20분마다, 기차 B는 30분마다 역에 도착합니다. 두 기차가 처음 동시에 출발했다면, 다음에 동시에 도착하는 시간은 몇 분 후인가요?

해설:
최소공배수를 구합니다.
$20 = 2^2 \cdot 5$ , $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
모든 소인수를 큰 지수 기준으로 곱합니다:
$2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
$\Rightarrow$ 두 기차는 60분 후에 다시 동시에 도착합니다.

최소공배수 구하는 법: 시험 대비

최소공배수는 시험에서 다양한 형태로 출제됩니다.
단순 계산형, 주기 반복형, 조건 연결형 문제가 대표적입니다.
최대공약수와 함께 비교해서 출제되기도 합니다.
실생활 상황이 포함된 문장형 문제도 자주 나옵니다.
출제자의 의도를 파악하고 문제 유형에 따라 접근해야 합니다.

시험에서 출제되는 최소공배수 문제는 단순히 두 수의 계산을 묻는 것이 아니라, 다양한 방식으로 응용됩니다. 가장 기본적인 유형은 두 수 또는 세 수의 최소공배수를 직접 계산하는 문제입니다. 이 유형은 소인수분해나 최대공약수 공식을 얼마나 정확히 알고 있는지가 중요합니다.

그 다음 많이 출제되는 유형은 주기형 문제입니다. 기차 시간표, 신호등, 회전판, 알람 등 반복되는 상황에서 처음으로 동시에 발생하는 시간을 묻는 문제입니다. 이럴 땐 각 주기의 최소공배수를 구하여 답을 도출합니다. 단위를 분, 초, 시간 등으로 바꾸는 것도 함께 출제되는 포인트입니다.

또 다른 유형은 조건 연결형 문제입니다. 예를 들어 “두 수의 최소공배수가 60일 때, 한 수가 12라면 다른 수는?”처럼 역으로 추론하는 문제입니다. 이때는 공식을 역이용하여 $\text{LCM} = \frac{a \cdot b}{\gcd(a, b)}$ 에서 주어진 값을 대입하거나 추론을 통해 접근해야 합니다. 이처럼 최소공배수 문제는 단순 계산을 넘어서 이해력과 논리력까지 평가하는 요소가 많기 때문에 다양한 유형을 익혀 두는 것이 시험 대비에 매우 효과적입니다.

최소공배수 구하는 법: 실제 활용

최소공배수는 실생활의 반복되는 상황에서 자주 등장합니다.
시간 계산, 주기 문제, 동시 발생 조건 등에 활용됩니다.
일상 속 문제를 수학적으로 분석하는 데 중요한 역할을 합니다.
특히 일정 조율, 교통, 설비 관리 등에서 응용됩니다.
수학을 실생활에 연결해보는 좋은 사고 훈련이 됩니다.

최소공배수는 단순한 수학 개념을 넘어서 실생활의 반복적인 상황을 정리하고 예측하는 데 매우 유용하게 쓰입니다. 예를 들어 두 개의 알람이 각각 $10$ 분, $15$ 분마다 울린다면, 동시에 울리는 시간은 최소공배수인 $30$ 분이 됩니다. 이처럼 반복 주기를 계산할 때 최소공배수는 명확한 기준을 제공합니다.

또 다른 예로는 교통 시스템에서의 활용이 있습니다. 버스 A는 $12$ 분마다, 버스 B는 $18$ 분마다 정류장에 도착한다면, 두 버스가 동시에 오는 시점은 $36$ 분마다입니다. 이 개념은 운행 간격 조정, 교통 흐름 계획 등에 직접 활용됩니다. 이처럼 주기와 관련된 실제 문제는 모두 최소공배수 개념을 기반으로 하고 있습니다.

가정에서도 최소공배수는 활용됩니다. 예를 들어 세탁기와 청소기가 각각 $40$ 분, $60$ 분마다 작동을 마친다면, 두 작업이 동시에 끝나는 시간은 $120$ 분입니다. 이처럼 작업의 동시성이나 효율성을 따질 때도 최소공배수를 계산해야 합니다. 수학이 일상과 연결된다는 점을 체감할 수 있는 좋은 예시이며, 문제 해결 능력 역시 함께 키울 수 있습니다.