사다리꼴 정의 | 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등

이번 글에서는 사다리꼴 정의 정리 관련 정보에 대해 알아보도록 하겠습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 사다리꼴 정의과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 아래 내용을 미리 한 번 꼼꼼하게 살펴 보시길 바랍니다.

Table of Contents

사다리꼴 정의: 기본 성질

사다리꼴은 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형을 의미합니다. 이때 평행한 두 변을 ‘밑변’이라고 하며, 나머지 두 변은 ‘빗변’ 또는 ‘다리’라고 부릅니다. 사다리꼴은 사각형의 한 종류로 직사각형이나 마름모와는 달리 반드시 평행한 변이 두 쌍이 아닐 수도 있습니다. 따라서 사다리꼴은 대각선의 길이나 각도의 조건과는 무관하게 오직 평행 조건만으로 정의됩니다. 사다리꼴의 밑변 사이의 거리를 ‘높이’라고 정의하며 이 높이를 기준으로 넓이를 구할 수 있습니다. 사다리꼴의 넓이 공식은 다음과 같습니다.

$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{Base}_1 + \text{Base}_2) \times \text{Height}$ .

여기서 $\text{Base}_1$과 $\text{Base}_2$는 각각 위쪽과 아래쪽 밑변의 길이를 나타내고 $\text{Height}$는 두 밑변 사이의 수직 거리를 의미합니다. 이 공식은 두 밑변의 평균 길이에 높이를 곱한 것과 같습니다.

또한 사다리꼴에는 특별한 종류가 존재합니다. 양쪽 빗변의 길이가 같은 경우 이를 ‘등변 사다리꼴’이라고 하는데 이 경우 대각선의 길이도 서로 같습니다. 등변 사다리꼴에서는 빗변이 같기 때문에 내부 대각선은 서로 합동이며, 밑변에 대한 높이를 기준으로 대칭성을 가집니다. 이러한 성질 덕분에 등변 사다리꼴은 문제 풀이나 도형 증명 과정에서 매우 유용하게 사용됩니다.

사다리꼴 정의: 종류

사다리꼴은 그 성질에 따라 몇 가지 주요 종류로 구분할 수 있습니다. 가장 기본이 되는 것은 일반 사다리꼴로 두 변만 평행하고 나머지 두 변은 길이나 기울기가 서로 다를 수 있습니다. 일반 사다리꼴에서는 특별한 대칭성이나 각의 관계가 존재하지 않기 때문에 문제 풀이 시 주어진 조건을 꼼꼼히 분석해야 합니다.

등변 사다리꼴은 양쪽 빗변의 길이가 같은 사다리꼴을 말합니다. 등변 사다리꼴에서는 대각선의 길이도 서로 같으며 밑변의 중심을 기준으로 좌우 대칭성을 가집니다. 등변 사다리꼴의 경우에는 높이 $h$ 를 구할 때 피타고라스 정리를 이용하여

$h = \sqrt{l^2 - \left( \frac{b_2 - b_1}{2} \right)^2}$

공식을 적용할 수 있습니다. 여기서 $l$ 은 빗변의 길이, $b_1$ 과 $b_2$ 는 두 밑변의 길이를 의미합니다.

또 다른 특수한 경우로는 ‘직각 사다리꼴’이 있습니다. 직각 사다리꼴은 두 각 중 하나가 $90^\circ$ 인 사다리꼴을 의미하며 한쪽 빗변이 높이와 일치하게 됩니다. 직각 사다리꼴은 직각을 활용하여 삼각비, 삼각함수 등을 이용한 다양한 문제로 확장될 수 있습니다. 특히 넓이나 둘레를 계산하는 과정이 비교적 단순하여 실전 문제에서 자주 등장합니다.

사다리꼴 정의: 넓이 구하기

사다리꼴의 넓이 공식을 유도하기 위해서는 먼저 사다리꼴 하나를 복제해 뒤집은 뒤, 원래 사다리꼴과 나란히 붙이면 됩니다. 이렇게 두 개를 합치면 평행한 두 밑변이 이어지면서 하나의 평행사변형이 만들어지기 때문입니다. 평행사변형의 넓이는 밑변의 길이에 높이를 곱해 구할 수 있으므로 사다리꼴의 넓이도 이 과정을 이용해 쉽게 계산할 수 있습니다.

사다리꼴에서 윗변의 길이를 $b_1$ , 아랫변의 길이를 $b_2$ , 두 밑변 사이의 거리를 $h$ 라고 정의해봅니다. 두 사다리꼴을 이어 붙여 만든 평행사변형의 밑변 길이는 $b_1 + b_2$ 가 됩니다. 따라서 평행사변형 전체의 넓이는

$(b_1 + b_2) \times h$

로 나타낼 수 있습니다. 이 값은 두 사다리꼴이 합쳐진 면적이므로 사다리꼴 하나의 넓이는 이 면적의 절반이 됩니다. 결과적으로 사다리꼴의 넓이는

$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h$

로 계산할 수 있습니다. 이렇게 하면 사다리꼴 넓이 공식이 자연스럽게 유도됩니다. 이를 조금 다르게 표현하면 두 밑변의 평균 길이에 높이를 곱하는 것과 같습니다. 즉,

$\text{Area} = \left( \frac{b_1 + b_2}{2} \right) \times h$

라는 공식도 사용할 수 있습니다. 공식 유도 과정을 이해하고 있으면 다양한 문제 상황에서도 응용이 가능해지며 단순한 암기에 의존하지 않고 정확하게 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있습니다.

사다리꼴 정의: 예시 문제

[문제] 윗변의 길이가 $8\ \text{cm}$ , 아랫변의 길이가 $14\ \text{cm}$ , 높이가 $5\ \text{cm}$ 인 사다리꼴의 넓이를 구하시오.

[풀이] 사다리꼴의 넓이 공식은 다음과 같습니다.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h$

주어진 값을 대입합니다.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (8 + 14) \times 5$

괄호 안을 먼저 계산합니다.
$= \frac{1}{2} \times 22 \times 5$

곱셈을 순서대로 진행합니다.
$= 11 \times 5 = 55$

따라서 사다리꼴의 넓이는 ** $55\ \text{cm}^2$ **입니다.

[문제] 한 사다리꼴의 윗변과 아랫변의 길이 차가 $6\ \text{cm}$ 이고, 두 빗변의 길이는 서로 같으며 각각 $10\ \text{cm}$ 입니다. 이 사다리꼴의 높이를 구하시오.
(※ 등변 사다리꼴입니다.)

[풀이] 등변 사다리꼴의 높이는 다음 공식으로 구할 수 있습니다.
$h = \sqrt{l^2 - \left( \frac{b_2 - b_1}{2} \right)^2}$

주어진 값을 대입합니다.
$h = \sqrt{10^2 - \left( \frac{6}{2} \right)^2}$

괄호 안을 먼저 계산합니다.
$= \sqrt{100 - 9}$

뺄셈을 계산합니다.
$= \sqrt{91}$

따라서 이 사다리꼴의 높이는 약 ** $9.53\ \text{cm}$ **입니다.

사다리꼴 정의: 시험 준비

자주 출제되는 문제 유형

(1) 넓이 계산 문제

윗변, 아랫변, 높이를 주고 넓이를 구하게 하는 문제입니다.
또는 넓이와 다른 조건을 주고, 높이나 밑변을 구하는 문제로 변형되기도 합니다.

[예시 문제] 윗변이 $7\ \text{cm}$ , 아랫변이 $13\ \text{cm}$ , 높이가 $4\ \text{cm}$ 인 사다리꼴의 넓이를 구하시오.

(2) 등변 사다리꼴 응용 문제

등변 사다리꼴임을 조건으로 주고, 빗변, 높이, 각의 크기 등을 구하게 하는 문제가 출제됩니다.
등변성(대칭성)을 이용해 문제를 푸는 것이 핵심입니다.

[예시 문제] 윗변과 아랫변 길이 차가 $8\ \text{cm}$ 이고, 빗변 길이가 $10\ \text{cm}$ 인 등변 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴의 높이를 구하시오.

(3) 도형 결합 문제

사다리꼴과 삼각형, 사다리꼴과 직사각형 등이 결합된 복합 도형 문제입니다.
각 도형의 넓이를 따로 계산한 뒤 합하거나 빼서 구해야 합니다.

[예시 문제] 사다리꼴과 직사각형이 붙어 있는 도형의 전체 넓이를 구하시오.

학습 팁

① 공식은 암기보다 이해로 접근하기

사다리꼴 넓이 공식을 단순히 외우지 말고, 공식이 만들어진 과정을 이해하면 문제를 변형해도 당황하지 않습니다.
공식:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h$
또는
$\text{Area} = \left( \frac{b_1 + b_2}{2} \right) \times h$

② 문제를 풀 때 항상 주어진 조건을 식으로 정리하기

문제에 나온 수치를 읽자마자 식을 세워야 계산이 수월합니다.
특히 “높이 구하기”, “밑변 길이 구하기” 유형에서는 식 정리가 매우 중요합니다.

③ 등변 사다리꼴은 반드시 대칭을 떠올리기

빗변이 같으면 높이를 구할 때 피타고라스 정리를 쓸 수 있습니다.
공식:
$h = \sqrt{l^2 - \left( \frac{b_2 - b_1}{2} \right)^2}$

④ 단위에 주의하기

넓이 문제에서는 단위가 $\text{cm}$인지 $\text{m}$인지 확인하고, 넓이 단위가 $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$로 변환되는 것도 반드시 확인합니다.

⑤ 계산을 너무 빠르게 하지 않기

실수로 괄호 계산을 빼먹거나 나눗셈을 틀리는 경우가 많습니다.
단계별로 천천히 계산하는 연습이 필요합니다.

더 알고 있으면 좋은 것들

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[대학 순위 TOP 100]

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[수능·모의고사 기출]

아래 글에는 주요 대학별 입시 정보를 모두 모아두었습니다. 대학별 수시등급, 정시등급, 논술, 입결, 등록금, 장학금 등 대학 진학과 관련된 내용이 필요하신 분들은 아래 내용도 꼭 함께 살펴보시길 바랍니다.

[대학별 입시 정보]

맺음말

이번 글에서는 사다리꼴 정의 정리 관련 정보에 대해 함께 살펴보았습니다. 도형 특징, 유도 과정, 예시 문제, 시험 준비 등 사다리꼴 정의과 관련된 내용들이 궁금하신 분들은 말씀드린 내용들 참고되셨길 바랍니다.